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这是你与「大学生科研竞赛」的第次相遇。

对于数学建模，不管你是从长准备、短期突击，还是赛中想思路，对经典模型进行全面的了解是首屈一指的要事。如果对于经典模型不了解，就会在解决问题时无从下手；如果对于经典模型了解的不足，常会在比赛中途误入歧途、捉襟见肘，选错相似模型而浪费大量时间。因此，对于常见的经典模型，如神经网络、主成分分析、线性规划等，都必须进行一个全面的了解。

从重要性可以看出，美赛经典模型的学习讲究全。至于学习的深度，对于比赛而言，了解各个模型的基本原理、适合解决哪些问题、如何使用和实现即可，不需要对公式推导、深层原理进行详细了解。

这是因为模型和算法借助相关数据分析软件即可完成，对于美赛，我们要学的更多是怎么用，而不是为什么。当然，学有余力的话，可以在如何改进模型和算法、同类比较等方面进一步研究。

小竞为大家整理了部分美赛经典模型的基本原理以及适合解决哪些问题，大家可结合手中资料对比学习，以达到全面覆盖的效果。

图1美赛经典模型

蒙特卡罗是比赛中使用率非常高的方法。蒙特卡罗模型是一种随机模拟的方法，又称随机性模拟法。以概率和统计理论方法为基础，将所求解的问题与一定的概率模型相联系，通过计算机仿真实现统计模拟或抽样，以检验模型正确性、获得问题近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征，故借用赌城蒙特卡罗命名。

需要指出的是，蒙特卡罗模型计算量大、精度不高，因此主要用于求那些解析方法或常规数学方法难解问题的低精度解，或用于对其他算法的验证。

层次分析法（简称AHP法），是一种定性与定量相结合的多准则决策、评价方法。它将决策者对复杂系统的决策思维过程模型化、数量化的过程，通过将决策的有关元素分解成目标层、准则层和方案层，并通过人们的判断对决策方案的优劣进行排序，在此基础上进行定性和定量分析。应用这种方法，决策者通过将复杂问题分解为若干层次和若干因素，在各因素之间进行简单的比较和计算，就可以得出不同方案的权重，为最佳方案的选择提供依据。尤其适合于人的定性判断起重要作用的、对决策结果难于直接准确计量的场合。

聚类分析是一种无监督的分类方法，即不预先指定类别。根据分类对象不同，聚类分析可以分为样本聚类（Q型）和变量聚类（R型）。样本聚类是针对观测样本进行分类，而变量聚类则是试图找出彼此独立且有代表性的自变量，而又不丢失大部分信息。变量聚类是一种降维的方法。

建模竞赛中有很多属于优化类问题，这类问题中绝大多数可以建立规划类模型来描述，并通过Lingo软件进行求解。

另外一部分优化类问题通常可以通过三大常用模型：神经网络、模拟退火、遗传等来实现。这些模型可以解决较为复杂的最优化问题，但是算法的实现比较困难，需要结合问题条件进行可行性分析。

1.规划类模型

包括线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划等，可用MATLAB或LINGO求解。

2.三大现代优化模型

（1）神经网络

神经网络模型是一种交互式的评价方法，它可以针对综合评价建模过程中变量选取方法的局限性，采用神经网络原理可对变量进行贡献分析，进而剔除影响不显著和不重要的因素，以建立简化模型，可以避免主观因素对变量选取的干扰。

神经网络具有自适应能力，能对多指标综合评价问题给出一个客观评价，这对于弱化权重确定中的人为因素是十分有益的。再者，考虑到整个分析评价是一个复杂的非线性大系统，必须建立权重的学习机制，这些方面正是人工神经网络的优势所在。

（2）模拟退火

模拟退火模型来源于固体退火原理，是一种基于概率的通用优化算法。基本思想从某一较高初温出发，伴随温度参数的不断下降，结合概率突跳特性在解空间中随机寻找目标函数的全局最优解，即在局部最优解能概率性地跳出并最终趋于全局最优。模拟退火是通过赋予搜索过程一种时变且最终趋于零的概率突跳性，从而可有效避免陷入局部极小并最终趋于全局最优的串行结构的优化算法。

（3）遗传

遗传模型是根据大自然中生物体进化规律而设计提出的，通过模拟达尔文生物进化论的自然选择和遗传学机理的生物进化过程，利用计算机仿真运算搜索最优解。在求解较为复杂的组合优化问题时，遗传模型通常能够较快地获得较好的优化结果，被人们广泛地应用于组合优化、机器学习、信号处理、自适应控制和人工生命等领域。

图论是运筹学中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。图论对建模和解决实际问题都用处极大，这类模型可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。

灰色关联分析法，又叫灰色综合评价法，是定性分析和定量分析相结合的综合评价模型。在实际问题中，许多因素之间的关系是灰色的，人们很难分清哪些因素是主导因素，哪些因素是非主导因素；哪些因素之间关系密切，哪些不密切。灰色关联分析的利用各方案与最优方案之间关联度大小对评价对象进行比较、排序。关联度越大，说明比较序列与参考序列变化的态势越一致，反之，变化态势则相悖。由此可得出评价结果。

因灰色关联分析法对样本量没有严格要求，不要求服从任何分布，因此适用于具有大量未知信息、或只有少量观测数据的问题。该模型可以较好地解决评价指标难以准确量化和统计的问题，排除人为因素带来的影响，使评价结果更加客观准确

由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型。所以在遇到有些无法用机理分析建立数学模型的时候，通常采取搜集大量数据的办法，基于对数据的统计分析去建立模型，其中用途最为广泛的一类随即模型就是统计回归模型。

回归分析根据历史数据的变化规律，寻找自变量与因变量之间的回归方程式，确定模型参数，据此预测。回归问题分为一元和多元回归、线性和非线性回归。回归分析模型的技术比较成熟，将预测对象的影响因素分解，考察各因素的变化情况，从而估计预测对象未来的数量状态；但回归模型误差较大，外推特性差。

按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录下来就构成了一个随时间变化的统计序列，对时间序列进行观察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来的走势就是时间序列分析。

时间序列模型有效的前提是过去的发展模式会延续到未来，因而这种方法对短期预测效果比较好。

模糊综合评判方法运用模糊数学原理来分析和评价模糊现象的系统分析方法。在经典集合论中，一个元素对于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一，这一要求限定了以经典集合论为基础的常规数学方法只能用来研究那些具有绝对明确的界限的事物和现象。但是，在现实世界中，并非所有事物和现象都具有明确的界限，譬如，“高与矮”、“好与坏”、“美与丑”……这些概念没有绝对的外延，被称之为模糊概念，它们不能用一般集合论来描述，而需要用模糊集合论去描述。

模糊综合评判方法应用模糊关系合成的原理，将一些边界不清、不易定量的因素定量化，从多个因素对被评价事物隶属等级（或称为评语集）状况进行综合性评价的一种方法。综合评判对评判对象的全体，根据所给的条件，给每个对象赋予一个非负实数评判指标，再据此排序择优。不仅可对评价对象按综合分值的大小进行评价和排序，而且还可根据模糊评价集上的值按最大隶属度原则去评定对象所属的等级，结果包含的信息量丰富。

模糊综合评判方法对多因素、多层次的复杂问题评判效果较好。广泛地应用于经济管理等领域。

由于